מילונית - סיכומים חינם
מקצועות לימוד:
מתמטיקה
אנגלית
מחשבים
לשון והבעה
ביולוגיה
בוטניקה (צמחים)
פיזיקה
כימיה
היסטוריה
ספרות
תנ"ך
אזרחות
גיאוגרפיה
חינוך תעבורתי
כלי עזר:
ציוני בגרות
שימושון
הפיכת עברית
מחשבון
פונטים
מערכת האתר:
מילונית - ראשי
אודות מילונית
יצירת קשר
פרסום באתר
עזרה לאתר
מפת האתר
עמוד ראשי >> מתמטיקה >> אי שיוויונים

אי שיוויונים

x-7>1
יודעים לפתור? לא קשה (מעבירים את 7 לצד השני).

אבל מה לגבי פונקציות מסובכות יותר? גם לא קשה!

נתקדם ונראה שהכל יראה לנו פשוט יותר.
y=x^2-3x-4
זו הפונקציה שלנו.
אני רוצה לדעת מהן נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר הX - מה עושים?
משווים את הפונקציה ל-0.

x^2-3x-4=0

ועושים טרינום = (x+1)(x-4)
או נוסחאת שורשים וצריך לצאת לנו שאיקס שווה ל1.5 ו4.

לפני שנמשיך, תספרו 4 שורות אחורה. רואים את המשוואה שרשומה שם?
איך הגענו אליה? איך פתאום הורדנו את הy? איך הגענו למשתנה אחד במשוואה?
למעשה אנחנו קיצרנו תהליך שעכשיו אפרט אותו:
כשרצינו לדעת באיזה נקודות חותכת הפונקציה את ציר הX למעשה אמרנו דבר כזה: יש לנו פונקציה, ויש לנו ישר שחותך את הפונקציה. הישר הוא y=0
איך מוציאים את נקודות המפגש בין פונקציות? משווים אותן.
אז היו לנו שתי משוואות עם שני נעלמים:
y=0
y=x^2-3x-4
ועכשיו השוונו בין המשוואות האלה ויצאה לנו תשובה כלשהי.
עכשיו אני רוצה לדעת את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר y=-1
נשווה את 1- לפונקציה ונקבל תשובות כלשהן.
עכשיו אני רוצה לדעת את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הישר y=-7
נעשה נוסחאות שורשים ו... נקבל מספר שלילי מתחת לשורש.
היי מה קרה פה? מזה המספר השלילי הזה מתחת לשורש, ולמה אין פתרון?
בואו נחשוב רגע...
מהי הנקודה בה ערך הY בפונקציה הוא הכי נמוך? במקרה שלנו, שבו הפונקציה מחייכת, ערך הY יורד ויורד עד שהוא מגיע לנקודה בה הוא מתחיל לעלות. זוהי כמובן נקודת המינימום של הפונקציה.
אני יכול להגיד לכם בוודאות שנקודת המינימום של הפונקציה היא איפשהו בין 6- ל7-, קרוב יותר ל6-. (ערך הY כמובן)
עכשיו נחשוב למה..
אמרנו שנקודת המקסימום היא בערך 6.5-. אנחנו רוצים לדעת באילו ערכי X הפונקציה תחתוך את הישר y=-7.
אבל מקודם אמרנו שערך הY של הפונקציה לא יכול להיות מעבר ל6.5-!
לכן בחיים לא יהיה מצב בו ערך הY בפונקציה יהיה שווה 7-... אני אקרא לזה תכונה של הפונקציה.
התכונה של הפונקציה שלנו היא שערך הY שלה לא יכול להיות קטן מנקודת המינימום שלה.

ואיך כל ההרצאה הזו קשורה לאי-שיוויונים? הנה:
בואו ניקח פונקציה כלשהי, נניח את הפונקציה שלנו מקודם:
x^2-3x-4
ו"נלביש" על הפונקציה תכונה...
למשל: ערך הY של הפונקציה יהיה חיובי בלבד.
מתי ערך הY הוא חיובי? כשהוא מעל ציר הX.
נגיד את הדבר הבא:
ציר הX הוא y=0
הפונקציה היא x^2-3x-4
אני אומר, שכל עוד הפונקציה גדולה מy=0 אז הפונקציה מקיימת את התכונה שנתנו לה: שערך הY שלה יהיה חיובי.
מן הסתם התשובה שתצא לנו היא שX צריך להיות קטן מ1- או גדול מ4.
אז מה אמרנו פה? לקחנו פונקציה שיש לה תכונה (ערך הY יהיה מינימום 6.5- בערך) והלבשנו לה עוד תכונה.
איך הלבשנו לה עוד תכונה? נתנו לה מגבלות. אמרנו לה להיות מעל ציר הX.
איך נתנו לה תכונה? בעזרת אי-שיוויון.
למעשה כשאנחנו נותנים לפונקציה אי-שיוויון אז אנחנו כופים תכונה על הפונקציה.
למשל אם נכפה על הפונקציה
x^2-3x-4
את התכונה שהיא לחתוך את הישר y=-7, הפונקציה לא תיתן לנו. התכונה שיש לה עכשיו לא מאפשרת לה לקבל את התכונה שלנו.
אז מתי כן נוכל להלביש תכונה על פונקציה? מתי שיהיו לה פרמטרים!
הפרמטרים מאפשרים לנו לקבוע את תכונות הפונקציה כמו נקודת קיצון, מחייכת או עצובה, לא חותכת ישר מסוים וכו'.
למעשה כל תרגיל באי-שיוויונים יכול להראות לנו הרבה יותר פשוט אם נתרגם אותו נכון.
למשל אם ירצו שפונקציה כלשהי תהיה כולה מעל ציר הX, מזה אומר?
נסיק את המסקנות הבאות:
1. הפונקציה חייבת לחייך. (אחרת היא תהיה חייב לחתוך את ציר הX, אלא אם יש לה אסימפטוטה, אבל זה לא בחומר הלימוד)
2. נקודת הקיצון של הפונקציה חייבת להיות מעל y=0 (אחרת הפונקציה תחתוך את ציר הX)

איך נתרגם את המסקנות האלה למתמטיקה?
לגבי 1 זה נורא פשוט לתרגם... פרבולה מחייכת זה אומר שa הוא חיובי כלומר
a>0
לגבי 2, נחקור קצת לעומק את העניין. מה אומרת לנו נקודת הקיצון? שיש לנו ערך Y אחד עבור ערך X אחד.
זהו המצב היחיד בפרבולה בו ערך Y מסוים שווה רק לערך אחד של X.
בפרבולה עבור כל Y יש שתי אפשרויות X.
בנקודת הקיצון יש רק פתרון איקס אחד. מה זה אומר לגבי נוסחאת השורשים?
זה אומר שנוסחאת השורשים תיתן לנו רק פתרון אחד.
מתי זה יקרה? כשהשורש יהיה אפס. למה? כי אז נגיד שלא חשוב אם נחסר את השורש מB או נוסיף את השורש לB, התשובה תהיה זהה.
אגב, דבר מעניין:
x^2-4x+4
זו הפונקציה שלנו
אם נשווה את הפונקציה לאפס (כדי לדעת נקודות חיתוך עם ציר הX) נראה שתצא לנו תשובה אחת, כלומר נקודת הקיצון תהיה על ציר הX.
בנוסחאת השורשים יצא לנו שהשורש הוא 0.
אבל שימו לב שהפונקציה שלנו היא למעשה נוסחאת כפל מקוצר של
(x-2) בריבוע
והנה אנחנו רואים שרק כאשר X=2 נקבל פסוק אמת, כלומר 2^(2-2)=0
ומה יקרה כשהשורש (דלתא) יהיה קטן מאפס? זה בעצם אומר לנו שאין נקודת X שתיתן לנו את ערך הY שרצינו.
זה אומר שהפונקציה לא תחתוך את ערך הY שרצינו, ובעצם "תרחף" מעליו.

והנה הוכחנו שאנחנו חייבים שני תנאים כדי שהפונקציה תהיה כולה מעל ציר הX.
כל מה שנותר לנו הוא להציב את הנתונים במשוואות שיצרנו ולפתור את המשוואות!
כשנפתור את המשוואות נקבל פונקציה פרמטרית שתכונותיה הן כפי שקבענו לה, ובמקרה שלנו: שכולה תרחף מעל ציר הX.

אגב, מה הקשר בין שיוויון לאי-שיוויון?
קצת ריכוז: שיוויון הוא המקרה הפרטי של האי-שיוויון.
מה הכוונה?
אם אמרנו שהפרבולה כולה היא מעל ציר הX ואנחנו רוצים לדעת באיזה נקודות הפונקציה חותכת את הישר Y=5 כמובן שנציב את הנתונים
בשיוויון רגיל.
למעשה כשאנחנו שואלים מה ערך הX כשY=5 זה מקרה פרטי של התכונה בה הפונקציה כולה מעל ציר הX.
אבל אם נשאל מה ערך הX כשY=-3 לא נקבל תשובה כיוון שהתכונה שקבענו לפונקציה לא מאפשרת לנו להגיע לY=-3.


לומדים עם Wall Street
כל הזכויות שמורות © 2005-2012 לימודים לומדים רק במילונית!