מילונית - סיכומים חינם
מקצועות לימוד:
מתמטיקה
אנגלית
מחשבים
לשון והבעה
ביולוגיה
בוטניקה (צמחים)
פיזיקה
כימיה
היסטוריה
ספרות
תנ"ך
אזרחות
גיאוגרפיה
חינוך תעבורתי
כלי עזר:
ציוני בגרות
שימושון
הפיכת עברית
מחשבון
פונטים
מערכת האתר:
מילונית - ראשי
אודות מילונית
יצירת קשר
פרסום באתר
עזרה לאתר
מפת האתר
עמוד ראשי >> מתמטיקה >> פונקציות - המדריך למתחיל

פונקציות - המדריך למתחיל

מאת: גונן צור

אז בואו נלמד לאט לאט אודות הפונקציה והאפשרויות שלנו לשחק בה.
פונקציה בעצם זו תבנית שבה אנחנו מכניסים ערך מסוים, ויוצא לנו ערך אחר.

לדוגמא:
Y=5X
אם נכניס לפונקציה במקום איקס את המספר 1, יצא לנו ש Y=5.
כלומר במערכת הצירים הפונקציה תהיה בנקודה X=1, Y=5.
עכשיו שואלים אותך באיזו נקודה הפונקציה חותכת את ציר הX.
ציר איקס זה בעצם Y=0 (למה? כי אם הנקודה שלנו תהיה X=1, Y=0 אתה תראה שהנקודה נמצאת על ציר הX, ואין לה "גובה" למעלה או למטה)
אותו דבר לגבי ציר הY. בציר הY הX שווה 0 כי הנקודה היא בדיוק באמצע מערכת הצירים, ואין לה "נטייה" ימינה או שמאלה).
אחרי שהבנו את זה נחשוב מה נעשה אם יבקשו מאיתנו למצוא באיזו נקודה הפונקציה חותכת את ציר הX.

כשאומרים "חתיכה בציר הX" אתה ישר יודע שY=0.
אז יש לך שתי נוסחאות:
Y=0
Y=5X
נשווה את 0 ל5X ונראה שאיקס גם שווה אפס.
מכאן אנחנו יכולים להסיק שיש נקודה שחותכת את ציר הX בנקודה (0,0).

נעבור לפונקציה מורכבת יותר - פרבולה.
אתה יודע מהיא פרבולה. המבנה שלה הוא כזה:
ƒ(x)=ax^2+bx+c
עכשיו אני אתן סתם פונקציה ונחקור אותה קצת:
y=x^2+3x-4

אנחנו רוצים לדעת באיזה נקודות הפונקציה חותכת את ציר הX.
דבר ראשון שאנחנו יכולים לעשות זה להגיד שY=0
ואז יש לנו שתי משוואות:
Y=0
Y=x^2+3x-4
ולכן נשווה בין 0 לפונקציה ונקבל את זה:
x^2+3x-4=0
מה עושים מפה? נוסחאת שורשים.. פשוט לא? לא!
מה ז"א נוסחאת שורשים? מזה? מזה עוזר לי?
מה הקשר בין הנוסחא לפתרון?!
אז ככה, לאט לאט... בוא נראה מה יש לנו.
יש לנו ביטוי שהוא שווה לאפס.
למעשה אנחנו רוצים לדעת מתי כל הביטוי שמשמאל (איקס בריבוע...) שווה אפס.
נעשה ניסוי וטעיה ונסיק מסקנות:
נציב במקום X את המספר 1:
1^2+3*1-4
1+3-4=0

והנה מצאנו שאם איקס שווה אחד אז Y שווה ל0
האם יש עוד פתרונות? נחפש.
נציב במקום X את המספר 2:

2^2+3*2-4
4+6-4=6
גדול מאפס

X=3
3^2+3*3-4
9+9-4=14
גדול מאפס ורק גדול יותר ממה שהצבנו קודם, לכן נחפש אולי במינוס נמצא מספר

x=-2
-2^2+3*(-2)-4
4-6-4=-6
קטן מאפס

x=-3
-3^2+3*(-3)-4
9-9-4=-4
קטן מאפס אבל אנחנו מתקרבים

x=-4
-4^2+3*(-4)-4
16-12-4=0
בינגו! מצאנו עוד נקודה

אז מה, עכשיו אנחנו נעשה ניסוי וטעייה על כל מספר? ובכלל, בין 1 ל2 יש אינסוף מספרים, איך נבדוק אינסוף אפשרויות?
בשביל זה נולדו גאוני מתמטיקה שממציאים עבורינו נוסחאות שיקלו עלינו את העבודה.
נוסחאת שורשים היא בדיוק המקרה הזה.
אנחנו נותנים לה פונקציה ששווה לאפס, והיא נותנת לנו שתי פתרונות אפשריים.

ננתח רגע את הנוסחא ונראה מה היא רוצה מאיתנו ואיך ננצל אותה ביעילות.
-b+-Delta

דלתא בשבילנו היא הדבר החשוב בנוסחא, ולמה:
אם הדלתא תהיה שווה אפס, זה אומר שלא משנה אם נחסיר אותה מb או נוסיף אותה לb כי אנחנו בסופו של דבר נקבל את אותה התשובה
b+0=b-0
ולכן במקרה כזה יש רק מקרה אחד שבו הפונקציה חותכת את ציר הX, ואם מדובר בפרבולה אז זה אומר שנקודת הקיצון יושבת על ציר הX.
ניקח מקרה שבו תצא לנו דלתא שלילית. במקרה כזה אין פתרון כיוון שאין שורש שלילי, ולמה?
ניקח את הפונקציה הבאה:

Y=x^2+9
נמצא את הנקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר הX ונראה ש
Y=0
Y=x^2+9
x^2+9=0
נראה מה תצא לנו הדלתא:
a=1
b=0
c=9

a=1 ברור למה, לא?
b=0 כי הוא מאפס את הביטוי bx (כי אין לנו מספר כלשהו כפול איקס)
c=9 וזה ברור למה

בקיצור אנחנו אומרים דבר כזה:
b^2-4*a*c
0-4*1*9
-36
ולמינוס אין שורש. אז לפי הנוסחא אין איקס שאם נציב אותו בפונקציה נקבל 0.
בוא נראה איך זה נראה מהצד של הפונקציה:
x^2+9=0
x^2=-9
מכאן אפשר להפסיק. למה? כי כל מספר שלא נבחר - חיובי או שלילי, אם נעלה אותו בריבוע נקבל מספר חיובי. ולכן הביטוי איקס בריבוע בחיים לא יהיה מספר שלילי, ולכן שום איקס שיתן לנו מצב בו הY=0, ולכן אם אין מצב כזה, הפונקציה פשוט לא חותכת את ציר הX, או את הישר Y=0.


לומדים עם Wall Street
כל הזכויות שמורות © 2005-2012 לימודים לומדים רק במילונית!