מילונית - סיכומים חינם
מקצועות לימוד:
מתמטיקה
אנגלית
מחשבים
לשון והבעה
ביולוגיה
בוטניקה (צמחים)
פיזיקה
כימיה
היסטוריה
ספרות
תנ"ך
אזרחות
גיאוגרפיה
חינוך תעבורתי
כלי עזר:
ציוני בגרות
שימושון
הפיכת עברית
מחשבון
פונטים
מערכת האתר:
מילונית - ראשי
אודות מילונית
יצירת קשר
פרסום באתר
עזרה לאתר
מפת האתר
עמוד ראשי >> מתמטיקה >> הבסיס של המתמטיקה

הבסיס של המתמטיקה

מאת: גונן צור

1+1=2
פששש גאון מתמטי אני הא?
יש בדבר הבסיסי הזה הרבה יותר ממה שאתם מתארים לעצמכם.
למעשה אלה אחד ממשפטי הבסיס של המתמטיקה.
1=1 זהו משפט הבסיס החזק ביותר במתמטיקה שכל המתמטיקה מבוססת עליו.
המשפט הזה הוא "אקסיומה". "אקסיומה" זהו משפט שיוויוני שלא ניתן להוכיח אותו, אך כולנו יוצאים מנקודת הנחה שהוא שווה ולא הצליחו להוכיח שהוא לא מתקיים.
כלומר אם יבוא מישהו ויגיד ש1 לא שווה 1, ויוכיח את זה בדרך כלשהי,
אז אסור לנו להגיד ש1=1. (אבל אל דאגה, אי-אפשר לסתור משפט כזה בדרך מתמטית כיוון שהוא הבסיס המתמטי עליו נשענת המתמטיקה. זאת אומרת שכדי להוכיח מתמטית ש1 שונה מ1, נצטרך להשתמש באקסיומה 1=1).
אם לא הבנתם את הסוגריים אולי תבינו בסוף המאמר..

אקסיומה לא חייבת להיות 1=1, אלא גם 4=4, 29=29 וכו'. אגב, 4=4 זוהי לא ממש אקסיומה..
אבל אותנו זה לא מעניין כי עם אקסיומות מתמטיות הצליחו להוכיח שכל מספר שווה לעצמו, ולכן ניקח את זה כנתון/אקסיומה.

נחזור למשפט הבסיס 1=1
נניח שנוסיף לו 4.
אם הוכחנו ש4=4 נוכל להוסיף אותו לשיוויון הקיים שלנו (1=1). וגם פה זו איזשהי הנחה שבה אנחנו אומרים ש - שיוויון + שיוויון = שיוויון
לאחר שיש לנו שיוויון בין האגפים, מותר לנו להשתמש ב"אלגברה", כלומר בחיבור וחיסור של מספרים.
עוד רגע אראה איך אפשר להוכיח חיבור וחיסור של מספרים.
ובקיצור יצא לנו 5=5.
אם נוסיף לכל אחד מהאגפים 1- (1-=1-) נקבל 5-1=5-1
רק בשלב הזה נוכל להשתמש במתמטיקה במקום אקסיומות ונגיד ש5-1=4
(ואפשר גם להוכיח את זה באקסיומה: נוסיף לשני האגפים 1, ונקבל: 4+1=5-1+1, ובמקום 5-1 אפשר להציב 4)
בדרך הזו ניתן להוכיח חיבור וחיסור של מספרים (מתמטיקה).

אז איך כל הפילוסופיה הזו קשורה אלינו?
בבקשה:
x-7=2
כיצד תוכיחו שX=9? "אני אעביר את ה7 אגף".
סליחה? באיזו רשות מותר לך להפר שיוויון ולהעביר את ה7 צד?!
אם אתה מעביר את המספר אגף, אתה שובר את השיוויון בין האגפים ואתה לא יכול להשתמש יותר בסימן השיוויון.
אם במקום X נציב סתם מספר, גם אז תעביר ככה את ה7 אגף?
אז רגע לפני שאתם חושבים שסתרנו את המתמטיקה ננתח את המשוואה ונראה איך ה7 "קפץ" לאגף השני.
x-7=2
האם מותר לי להוסיף לשני האגפים 7? כן (כי 7=7, אקסיומה)
ואז נקבל x-7+7=2+7
ומכאן נשתמש במתמטיקה ונגיד שX שווה 9.

מישהו זוכר כמה זה 3*2?
3*2 אפשר להגיד שזה 3 פעמים 2, כלומר 2+2+2
ז"א שכפל נובע מחיבור וחיסור.
ולכן גם על כפל פועלות אקסיומות, כמו למשל 2*7=2*7
והנה דוגמא מעשית שתתאים לנו:
x/3=2
מה עושים? מעבירים בעזרת כפל את 3 לצד השני
מה עשינו בעצם?
נקרא לכל אחד מהאגפים "a", וזה אומר שa=a שזה אקסיומה וגם המשוואה שיש לנו כאן.
כפלנו כל אגף ב3 (כי a*3=a*3, או a+a+a=a+a+a) ובפועל יצא לנו דבר כזה:
3*(a/3)=3*2
ועכשיו מגיע קטע נחמד שבו אפשר "לצמצם".
אז מה הכוונה בצימצום?
3*(a/3)
בגלל שיש קשר של כפל בין כל הגופים מותר לנו להגיד ש
a*3/3
3/3=1 ולכן ישאר לנו בסופו של דבר a באגף שמאל.

אז עכשיו הבנו את הבסיס של המתמטיקה.
בהמשך תראו איך בעזרת מאמר זה אנחנו מוכיחים דברים קשים יותר (חוקי חזקות וכו').


בהצלחה!!!


לומדים עם Wall Street
כל הזכויות שמורות © 2005-2012 לימודים לומדים רק במילונית!