מילונית - סיכומים חינם
מקצועות לימוד:
מתמטיקה
אנגלית
מחשבים
לשון והבעה
ביולוגיה
בוטניקה (צמחים)
פיזיקה
כימיה
היסטוריה
ספרות
תנ"ך
אזרחות
גיאוגרפיה
חינוך תעבורתי
כלי עזר:
ציוני בגרות
שימושון
הפיכת עברית
מחשבון
פונטים
מערכת האתר:
מילונית - ראשי
אודות מילונית
יצירת קשר
פרסום באתר
עזרה לאתר
מפת האתר
עמוד ראשי >> מתמטיקה >> טכניקות פתרון לאי שיוויונים

טכניקות פתרון לאי שיוויונים

מאת: גונן צור

אחרי שהבנו את האי-שיוויונים נבין כיצד פותרים אותם.
רצוי ואף חובה לקרוא את המאמר.
אי-שיוויונים שונה מפתרון "רגיל" של משוואות ודורש חשיבה ולא רק טכניקה שיש בשיוויון רגיל שבו צריך להגיע לפתרון.
אי-שיוויון הוא בעיקר חשיבה וניתוח של התרגיל ואחריו מתחילה הטכניקה.
למזלינו החשיבה והניתוח הם פשוטים למידי ואפילו טכניים מאוד אם מתרגלים את הנושא כמו שצריך.
אז מהו ניתוח של תרגיל?
ניקח תרגיל וננתח אותו:
mx^2-(m+2)x+9m
עבור אילו ערכי M נמצאת כל הפונקציה מעל ציר הX?
ניתוח התרגיל זה אומר ניתוח התכונה שמבקשים מאיתנו ל"הלביש" על הפונקציה.
במקרה שלנו התכונה היא שהפונקציה לא תחתוך את ציר הX עבור כל ערך X.
בשביל התכונה הזו הפונקציה צריכה לקיים שני תנאים:
1. הפרבולה חייבת ל"חייך" - אם היא תהיה "עצובה", היא תחתוך את ציר הX (פרט למקרים בהם יש אסימפטוטות ופונקציות מורכבות)
2. נקודת המינימום של הפונקציה תהיה גדולה מ0 (בערך הY. ערך הX יכול להיות שלילי או חיובי.. ערך הX לא מעניין אותנו)
תנאי מספר 2 הוא מסקנה מתנאי מספר 1. אם הפרבולה מחייכת אז הנקודה בה ערך הY יהיה הקטן ביותר היא כמובן נקודת המינימום.
מנקודת המינימום ערך הY רק עולה ואינו יורד ולכן עלינו לראות שבמצב "הכי גרוע" הפונקציה עדיין תקיים את התכונות שלה.
ניקח את המקרה הגרוע ביותר שבו הפונקציה לא תקיים את התכונה שלה.
תחשבו על פונקציה "מחייכת" שהולכת ומתקרבת אל ציר הX, היא לאט לאט מתקרבת והנה היא ממש על סף נגיעה מציר הX.
היא עדיין מקיימת את התכונה שלה. אבל נמשיך להוריד אותה עוד קצת ועוד קצת.
מתי התכונה שלה, שכולה תהיה מעל ציר הX, תישבר?
ברגע שהיא תיגע בציר הX. וזה יהיה בנקודת הקיצון של הפונקציה כי זו הנקודה הכי "תחתונה" בפונקציה.
במקרה כזה רק הנקודת קיצון נוגעת בפונקציה והפונקציה תיגע בציר הX רק בנקודה אחת.
זוכרים מה אמרנו לגבי הנקודה האחת הזו? ערך הדלתא (השורש) של נוסחאת השורשים במקרה כזה יהיה 0.
אז אני אומר דבר כזה: לדלתא יש 3 מצבים: שהיא תהיה גדולה מאפס ואז יהיו לי שני פתרונות.
שהיא תהיה שווה לאפס ואז יש לי פתרון אחד
שהיא תהיה קטנה ומאפס ואז אין לי פתרון.
מה אני מחפש? את המצב שבו לא יהיה לי פתרון. זה יכול להיות שהדלתא תהיה שווה 20-, 100- או אפילו 0.0001-.
אבל זכרו מה אמרתי לגבי שיוויון!! שיוויון הוא מקרה פרטי של אי-שיוויון!
ולכן כדי ליצור "הכללה" נגיד שכל עוד הדלתא קטנה מאפס אז אין שום נקודות בפונקציה שחותכות את ציר הX.
מכאן הדרך לפתרון הרבה יותר קלה. נתרגם את התנאים שלו לשפה מתמטית ונקבל:
1. a>0
2. Delta<0

נעבור עכשיו לאי-שיוויונים עם שבר, כמו למשל אי-שיוויון כזה:
x-2)/(x-5)>0)
לפני שבכלל נתחיל לעשות אי-שיוויון כזה, ישר נעשה תחום הגדרה! לX אסור להיות 5!
ועכשיו נעבור לחלק קצת מבלבל, נא להתרכז:
אנחנו שואפים "להיפטר" מהמכנה. הדבר המתבקש ביותר לעשות כאן הוא להכפיל את שני האגפים בx-5 והנה אי-שיוויון פשוט מאוד!
אבל, זוהי טעות! למעשה זוהי אחת מהטעויות הנפוצות ביותר באי-שיוויונים, ולמה:
נניח שהמכנה שלנו x-5, לאחר הצבת X שיצא לנו בפתרון, יהיה שלילי. אם מכפילים את האי-שיוויון בסימן שלילי, הסימן מתהפך!
ואנחנו לא הפכנו את הסימן. בואו נראה מה היה קורה בשיטת הפתרון עם הטעות:
x-2>0
x>2
שמחים ועליזים נציב 3 כדי לבדוק נכונות תשובה:
0<-1/2
אופס.... מינוס חצי לא גדול מאפס... טעינו.
אז מה כן עושים? אנחנו לא יודעים אם לשנות את הסימן או לא... מה נעשה? נוודא שהמכנה שלנו יהיה חיובי!
כיצד זה יקרה?
מותר לי להגיד את הדבר הבא:
0<(x-2)/(x-5)

נעשה מכנה משותף x-5)^2) למה? כדי שלא משנה איזה X יהיה לנו, העלאה של התשובה בריבוע תמיד תיתן מספר חיובי.
זכרו! מותר לנו להכפיל את שני האגפים באיזה מספר שאנחנו רוצים!
לאחר צימצום נקבל:
x-2)(x-5)>0)
במקרה כזה יש לי שתי אפשרויות יפות ומעניינות לפתרון.
הראשונה:
אני אתייחס למשוואה שקיבלתי כמו אל:
a*b>0
מתי a כפול b יהיה גדול מ0? מתי שa יהיה חיובי וגם שb יהיה חיובי.
שימו לב ל"וגם" שיש בין שני המקרים. ה"וגם" הזה הוא ה"וגם" שיש באי-שיוויונים!
ושימו לב עוד יותר למקרה הזה:
a צריך להיות קטן מאפס וגם b צריך להיות קטן מאפס (מספר שלילי כפול מספר שלילי יתן לי מספר חיובי!)
ז"א שיש לנו שני מקרים, וכך נתרגם אותם בצורה מתמטית:
1. a>0 וגם b>0
או (שימו לב - הקשר כאן הוא "או"!)
2. a<0 וגם b<0

דרך נוספת לפתור את האי-שיוויון שלפנינו:
x-2)(x-5)>0)
אין לנו בעיה לפתוח סוגרים ולהגיע לפרבולה הבאה:
x^2-7x+10>0
ומשוואה כזו יהיה לנו קל לפתור (משווים ל0 ובודקים מתי הפרבולה נמצאת מעל ציר הX)


לומדים עם Wall Street
כל הזכויות שמורות © 2005-2012 לימודים לומדים רק במילונית!